ד"ר ברנבוים מומחה ברפואה פנימית והתמחות על במנהל רפואי, בוגר לימודי רפואה בבית הספר לרפואה ובעל תואר שני במנהל מערכות בריאות מאוניברסיטת בן גוריון, ותואר שני במדעי החברה מאוניברסיטת חיפה. כמו-כן, בוגר המכללה הבין-זרועית לפיקוד ומטה של צה"ל והמכללה לביטחון לאומי (מב"ל).
את לימודי הרפואה למד ד"ר ברנבוים במסגרת העתודה האקדמית של צה"ל, בתום לימודיו התגייס לצה"ל לשירות ממושך ומשמעותי ממנו השתחרר (2015) בדרגת אלוף משנה, וזאת לאחר שמילא שורת תפקידי פיקוד במערך הרפואה והמבצעים של חיל האוויר וחיל הרפואה.
כמו כן שימש ד"ר ברנבוים כעוזר למנכ"ל בית חולים שיבא ועוזר לראש מינהל טכנולוגיות ותשתיות רפואיות במשרד הבריאות.
ארז נשוי לד"ר סילבינה פרידלנדר ברנבוים, רופאת שיניים מומחית ברפואת הפה, לזוג יש ארבע בנות.
ד"ר ברנבוים מגיע לאסותא מחטיבת בתי החולים של הכללית, שימש כסגן מנהל המרכז הרפואי מאיר וכמנהל בית החולים 'בית רבקה'.